Линейчатые поверхности: развертывающиеся, косые

7.3. Цилиндрическая поверхность

Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии, которая в любом своём положении параллельна данному направлению и пересекает криволинейную направляющую (Рисунок 7.6).

Цилиндр – геометрическое тело, ограниченное замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими все образующие данной поверхности.

Взаимно параллельные плоские фигуры, ограниченные цилиндрической поверхностью, называются основаниями цилиндра.

Если нормальное сечение (плоскость сечения перпендикулярна образующим) имеет форму окружности, то цилиндрическая поверхность называется круговой.

Если образующие цилиндрической поверхности перпендикулярны к основаниям, то цилиндр называется прямым, в противном случае – наклонным.

Рассмотрим проецирование прямого кругового цилиндра и принадлежащей ему точки F.

Условимся, что фронтальная проекция точки F – невидима (Рисунок 7.6).

Рисунок 7.6 – Проецирование цилиндра на плоскости проекций

Горизонтальная и профильная проекции точки F будут видимы.

При определении видимости, образующие, которые находятся на части, обращённой к наблюдателю и обозначенной на π₁сплошной зелёной линией – на плоскости проекции π₂ видны, а которые находятся на части, обозначенной толстой штриховой линией – видны на π₃.

Пусть точка А на π₂видима (Рисунок 7.7). Тогда на π₁она будет видима, а на π₃ невидима.

Рисунок 7.7 – Эпюр прямого кругового цилиндра и принадлежащих ему точек

Тема №7 Поверхности

Контрольные задания по теме:Рабочая тетрадь задача 58а, задача 58б

Мир поверхностей очень разнообразен. Они играют огромную роль в науке, архитектуре и технике. В математике под поверхностью подразумевается непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая уравнением типа F(x, y, z)=0, где F(x, y, z) многочлен n-й степени. Степень многочлена определяет порядок поверхности. Например, прямую линию можно назвать поверхностью первого порядка. Поверхности второго порядка – это поверхности, состоящие из плоскостей и также некоторые поверхности вращения.

Любая произвольно расположенная плоскость пересекает поверхность по кривой того же порядка. Порядок поверхности также может быть определен по числу точек пересечения ее с прямой линией.

В начертательной геометрии фигуры задаются графически, поэтому поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Она называется образующей, а линия, вдоль которой она перемещается, – направляющей. Такой способ образования поверхности называется кинематическим.

Рисунок 37

На рисунке 37 прямая линия – образующая, а дуга, вдоль которой она перемещается, – направляющая. Другим способом образования поверхности и задания ее на чертеже является задание множества принадлежащих ей точек и линий. Такой способ называется каркасным, а упорядоченное множество точек и линий поверхности называется ее каркасом.

Рисунок 38

Линейчатые поверхности вращения – это конус, цилиндр.

Линейчатые поверхности поступательного движения – все гранные поверхности.

К нелинейчатым поверхностям вращения относятся сфера, шар, эллипсоид. Нелинейчатые поверхности, образованные поступательным движением – это гиперболический параболоид и другие сложные поверхности.

Образующей является прямая линия, направляющая – ломаная. Гранная поверхность представляет из себя совокупность пересекающихся плоскостей – граней. Линии пересечения граней – ребра. Точки пересечения ребер – вершины.

Наиболее простой является призматическая поверхность. Она изображена на рисунке 39. Образующая l передвигается вдоль ломаной линии m, которая является направляющей. Все образующие поверхности параллельны.

Рисунок 39

Призмой называется геометрическое тело, образующееся при ограничении призматической поверхности плоскостью, которое получается, если призматическую поверхность ограничить двумя основаниями. Основания будут иметь форму многоугольников, боковые грани параллелограммов. Если плоскости основания перпендикулярны боковым граням, то призма называется прямой, если нет то наклонной. Если в основании призмы лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.

Пирамидальная поверхность изображена на рисунке 40. Один конец образующей l неподвижен, а другой передвигается вдоль ломаной линии m.

Рисунок 40

Пирамидой является геометрическое тело, образующееся при ограничении призматической поверхности плоскостью, которая будет называться основанием. Точка S-вершина пирамиды. Боковые грани – треугольники. Пирамида будет называться правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а высота опущенная из вершины попадает в центр основания.

1. Что называется поверхностью? Какие способы образования поверхностей вы знаете?

2. Назовите линейчатые поверхности вращения.

3. Какие нелинейчатые поверхности вы знаете?

4.Какая линия является направляющей у гранных поверхностей, какая является образующей?

5. Как образуется поверхность пирамиды, призмы?

6. Какая призма называется прямой?

Ссылки [ править ]

^ Г. Фарин: Кривые и поверхности для компьютерного геометрического проектирования , Academic Press, 1990, ISBN 0-12-249051-7 , стр. 250
^ В. Вундерлич: Über Эйн abwickelbares Möbiusband , Ежемесячнике für Mathematik 66, 1962, С. 276-289.
^ В. Кюнель: Дифференциальная геометрия, стр. 58–60
^ Г. Фарин: с. 380
^ Э. Хартманн: Геометрия и алгоритмы для САПР , конспект лекции, TU Дармштадт, стр. 113
^ Тан, Бо, Валлнер, Поттманн: Интерактивный дизайн складывающихся поверхностей , ACM Trans. График. (МЕСЯЦ 2015), DOI: 10.1145 / 2832906
^ Снежана Lawrence : развертывающиеся поверхности: их история и применение , в Nexus Network Journal 13 (3) · Октябрь 2011, DOI : 10.1007 / s00004-011-0087-г

Ду Карму, Манфредо П.: Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей , Прентис-Холл; 1 издание, 1976 ISBN 978-0132125895
Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlin, doi : 10.1007 / 978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
Бовиль, Арно (1996), Комплексные алгебраические поверхности , Студенческие тексты Лондонского математического общества, 34 (2-е изд.), Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511623936 , ISBN 978-0-521-49510-3, Руководство по ремонту 1406314
Edge, WL (1931), Теория линейчатых поверхностей , Cambridge University Press – через Интернет-архив. Обзор: Бюллетень Американского математического общества 37 (1931), 791-793, DOI : 10.1090 / S0002-9904-1931-05248-4
Fuchs, D .; Табачников, Серж (2007), «16.5 Не бывает неплоских трехлинейчатых поверхностей», Математический омнибус: тридцать лекций по классической математике , Американское математическое общество, с. 228, ISBN 9780821843161.
Ли, Ta-chʻien (ред.) (2011), Проблемы и решения в математике, 3103 (2-е изд.), World Scientific Publishing Company.
Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-1087-8.
Исковских В.А. (2001) , “Линейчатая поверхность” , Энциклопедия математики , EMS Press
Sharp, John (2008), D-Forms: удивительные новые трехмерные формы из плоских изогнутых форм , Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3. Обзор: блестки, Carlo H. (2009), Журнал математики и искусство 3: 229-230, DOI : 10,1080 / 17513470903332913

Неразвертывающиеся или косые поверхности

Их появление часто вызвано передвижением прямолинейной создающей вдоль пути, развитой тремя направляющими. Они непосредственно формируют закон перемещения и бывают прямыми или кривыми. Есть индивидуальные ситуации, когда траектория движения устанавливается:

2-мя направляющими и произвольной плоскостью;
направляющими свободной формы и плоскостью параллелизма (к примеру, область проекции).

Направляющая поверхность замещает одну из линий пути. С ней двигающаяся прямая составляет постоянный угол.

Варианты подобных объектов: цилиндроид, коноид, гиперболический параболоид. Их главные характеристики приведены в таблице.

Вид	Определители (вместе с плоскостью параллелизма)	Характеристика	Некоторые сфере использования
Цилиндроид	2 кривые направляющие	Изобразить образующие на комплексных чертежах можно так: 1.Параллельно параллелизму провести серию плоскостей. 2.Определить точки, в которых кривые направляющие цилиндроида пересечены с плоскостями. Если за параллелизм принять одну из плоскостей уровня, что делает легче построение, то линии будут подходить линиям уровня.	Проектирование больших, крупного диаметра, воздушных каналов
Коноид	2 направляющие: · откровенная	1. Особенный случай цилиндроида. 2. Прямой коноид имеет направляющую прямолинейную, расположеную под прямым углом к области параллелизма.	Гидротехническое строительство, на конструкторском уровне опор мостов
Параболоид гиперболический (синонимично понятию косой плоскости)	2 пересекающиеся прямые направляющие	1. Изображается как несколько прямых по закону: создающая должна пересекать направляющие и проходить параллельно установленной области параллелизма. 2. При пересечении некоторыми плоскостями в сечениях получаются гиперболы и параболы.	При разрабатывании конструкций гидротехнических строений, дорог, откосов, шлюзов, каналов, крыльев ветряков

Линейчатые поверхности собой представляют математические абстракции, посредством которых можно получить представление о характеристиках предметов.

Их моделирование, математическое, геометрическое описание дают возможность проектировать разные тела и конструкции в автомобилестроении, архитектуре. Современные программы компьютерного проектирования, к примеру КОМПАС 3D, упрощают и автоматизируют процесс моделирования подобных объектов.

Если вы нашли погрешность, пожалуйста, выдилите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Линейчатые поверхности в архитектуре [ править ]

Поверхности с двойной линией – это вдохновение для изогнутых гиперболоидных структур, которые можно построить с помощью решетки из прямых элементов, а именно:

Гиперболические параболоиды, например, двускатные крыши .
Гиперболоиды одного листа, такие как градирни и некоторые урны для мусора .

В ракетном двигателе RM-81 Agena использовались прямые охлаждающие каналы , расположенные на линейчатой поверхности и образующие горловину сопловой секции.

Охлаждение гиперболические башни на электростанции Didcot , Великобритания; поверхность может быть двояко линейчатой.
Дважды управляемая водонапорная башня с тороидальным резервуаром, работы Яна Богуславского в Цехануве , Польша.
Гиперболоидная башня порта Кобе , Кобе , Япония, с двойной линией.
Гиперболоидная водонапорная башня 1896 года в Нижнем Новгороде .
Сетчатая оболочка из Шуховской башни в Москве, чьи участки вдвойне правила.
Винтовая лестница с линейками внутри Торраццо Кремоны .
Деревенская церковь в Село, Словения: и крыша (коническая), и стена (цилиндрическая) являются линейчатыми поверхностями.
Гиперболический параболоид крыша железнодорожной станции Варшава Ochota в Варшаве , Польша.
Линейчатая коническую шляпу .
Гофрированная черепица, разделенная параллельными линиями в одном направлении и синусоидальными в перпендикулярном направлении.
Устройство плоской поверхности путем разметки ( стяжки ) бетона.

Индивидуальные доказательства

Д.Б. Фукс, Серж Табачников: Неплоских трехлинейчатых поверхностей не бывает . В кн . : Математический омнибус: тридцать лекций по классической математике . Американское математическое общество, 2007, ISBN 978-0-8218-4316-1, стр. 228.
Г. Фарин: Кривые и поверхности для компьютерного геометрического проектирования, Academic Press, 1990, ISBN 0-12-249051-7, стр. 250
В. Вундерлих: О раскручивающейся ленте Мебиуса, ежемесячные книги по математике 66, 1962, стр. 276–289.
В. Кюнель: Differentialgeometrie ., Стр 58-60
Г. Фарин: с. 380
В. Кюнель: Differentialgeometrie, Фивег, 2003, ISBN 3-528-17289-4, стр 58..
MP do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3322850722, стр. 145.
W. Haack : Elementare Differentialgeometrie, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3034869509, стр. 32

Параметрическое представление

Пример линейчатой поверхности.

Мы можем описать линейчатую поверхность S , рассматривая его как в виде семейства линий D ( U ) в зависимости от параметра у обхода части I множества действительных чисел . Для этого достаточно , чтобы дать для каждого U в I точку P ( U ) и направляющий вектор из D ( ¯u ). Тогда мы получим параметрическое представление поверхности S : V(ты)→{\ displaystyle {\ overrightarrow {V (u)}}}м∈S⟺∃ты∈я∃v∈рM(ты,v)знак равноп(ты)+vV(ты)→.{\ Displaystyle м \ в S \ iff \ существует и \ в я \ четырехъядерный \ существует v \ в \ mathbb {R} \ четырехъядерный M (u, v) = P (u) + v \, {\ overrightarrow {V ( u)}}.}

Дуга установлено с помощью называется директрисой кривой из S . ты∈я↦п(ты)∈р3{\ Displaystyle и \ ин I \ mapsto P (u) \ in \ mathbb {R} ^ {3}}

В примере напротив мы взяли п(ты)знак равно(ты,-ты2,ты3)етV(ты)→знак равно(-ты2,1,ты).{\ Displaystyle P (u) = (u, -u ^ {2}, u ^ {3}) \ quad {\ rm {et}} \ quad {\ overrightarrow {V (u)}} = (- u ^ {2}, 1, u).}

Линейчатые поверхности в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии линейчатые поверхности были первоначально определены как проективные поверхности в проективном пространстве, содержащие прямую линию, проходящую через любую заданную точку. Это сразу означает, что есть проективная линия на поверхности, проходящая через любую заданную точку, и это условие теперь часто используется как определение линейчатой поверхности: линейчатые поверхности определяются как абстрактные проективные поверхности, удовлетворяющие этому условию, что существует проективная линия. через любую точку. Это эквивалентно тому, что они бирациональны по отношению к произведению кривой и проективной прямой. Иногда линейчатую поверхность определяют как поверхность, удовлетворяющую более сильному условию, что она имеет расслоение над кривой со слоями, которые являются проективными прямыми. Это исключает проективную плоскость, которая имеет проективную прямую через каждую точку, но не может быть записана как такое расслоение.

Линейчатые поверхности появляются в классификации Энриквеса проективных комплексных поверхностей, потому что каждая алгебраическая поверхность размерности Кодаира является линейчатой поверхностью (или проективной плоскостью, если использовать ограничительное определение линейчатой поверхности). Любая минимальная проективная линейчатая поверхность, отличная от проективной плоскости, является проективным расслоением двумерного векторного расслоения над некоторой кривой. Линейчатые поверхности с базовой кривой рода 0 являются поверхностями Хирцебруха . -∞{\ displaystyle – \ infty}

Моделирование поверхностей вращения

Поверхность вращения образуется вращением какой-либо линии (образующей) вокруг неподвижной оси (рис. 42). Как правило, ось вращения располагается перпендикулярно одной из плоскостей проекций.

Если образующая поверхности вращения — прямая линия, то образуется линейчатая поверхность. Если образующая — кривая, поверхность вращения будет относиться к классу нелинейчатых поверхностей.

Репер поверхности вращения включает в себя ось вращения i и образующую линию f. Каждая точка образующей линии вращается по окружности, которая называется параллелью. Плоскость этой параллели перпендикулярна оси вращения, а центр принадлежит оси вращения.

Параллель наибольшего радиуса называется экватором, а параллель наименьшего радиуса — горлом.

Меридиан — линия на поверхности, расположенная в одной плоскости с осью вращения. Главный меридиан — меридиан, плоскость которого параллельна плоскости проекций. Если ось вращения перпендикулярна плоскости то главный меридиан параллелен Если же ось вращения перпендикулярна плоскости то главный меридиан параллелен

Один из очерков поверхности вращения определяется главным меридианом, а второй — экватором или экватором и горлом.

Касательные плоскости, развертываемые поверхности

Для необходимых здесь выводов всегда предполагается, что они также существуют.

Чтобы вычислить вектор нормали в точке, нужны частные производные представления :
Икс(ты,v)знак равноc(ты)+vр(ты){\ displaystyle \ quad \ mathbf {x} (u, v) = \ mathbf {c} (u) + v \; \ mathbf {r} (u)}

Икстызнак равноc˙(ты)+vр˙(ты) {\ displaystyle \ mathbf {x} _ {u} = \ mathbf {\ dot {c}} (u) + v \; \ mathbf {\ dot {r}} (u) \} ,Иксvзнак равнор(ты){\ displaystyle \ quad \ mathbf {x} _ {v} = \; \ mathbf {r} (u)}

пзнак равноИксты×Икстызнак равноc˙×р+v(р˙×р) .{\ displaystyle \ mathbf {n} = \ mathbf {x} _ {u} \ times \ mathbf {x} _ {u} = \ mathbf {\ dot {c}} \ times \ mathbf {r} + v (\ mathbf {\ dot {r}} \ times \ mathbf {r}) \.}

Поскольку скалярное произведение (позднее произведение с двумя равными векторами всегда равно 0!), В каждой точке есть касательный вектор . Касательные плоскости вдоль этой прямой идентичны, если они кратны . Это возможно только в том случае, если три вектора лежат в одной плоскости, т.е. ЧАС. линейно зависимы. Линейную зависимость трех векторов можно определить с помощью определителя этих векторов:
п⋅рзнак равно{\ Displaystyle \ mathbf {п} \ cdot \ mathbf {r} = 0}р(ты){\ Displaystyle \ mathbf {r} (и_ {0})}Икс(ты,v){\ Displaystyle \ mathbf {х} (и_ {0}, v)}р˙×р{\ displaystyle \ mathbf {\ dot {r}} \ times \ mathbf {r}}c˙×р{\ displaystyle \ mathbf {\ dot {c}} \ times \ mathbf {r}}c˙,р˙,р {\ Displaystyle \ mathbf {\ точка {с}} \ ;, \; \ mathbf {\ точка {r}} \ ;, \; \ mathbf {r} \}

Касательные плоскости вдоль прямой совпадают, еслиИкс(ты0,v)знак равноc(ты0)+vр(ты0){\ displaystyle \ mathbf {x} (u_ {0}, v) = \ mathbf {c} (u_ {0}) + v \; \ mathbf {r} (u_ {0})}

Det(c˙(ты),р˙(ты),р(ты))знак равно .{\ displaystyle \ det (\ mathbf {\ dot {c}} (u_ {0}) \ ;, \; \ mathbf {\ dot {r}} (u_ {0}) \ ;, \; \ mathbf {r } (u_ {0})) \; = \; 0 \.}

Генеративная форма, к которой это применимо, называется торсальной .

Линейчатая поверхность точно тогда раскручивается в плоскость, когда для всех точек гауссова кривизна равна нулю. Это так тогда и только тогда, когдаИкс(ты,v)знак равноc(ты)+vр(ты){\ displaystyle \ quad \ mathbf {x} (u, v) = \ mathbf {c} (u) + v \; \ mathbf {r} (u)}

Det(c˙,р˙,р)знак равно{\ displaystyle \ det (\ mathbf {\ dot {c}} \; \; \ mathbf {\ dot {r}} \ ;, \; \ mathbf {r}) \; = \; 0 \ quad}

применяется в каждой точке, d. т. е. если каждый образующий – торсальный. Поэтому развивающуюся область также называют торсом .

Свойства развертывающейся поверхности:

Генераторы представляют собой семейство асимптотических линий, а также семейство линий кривизны .
Разворачивающаяся поверхность – это либо (общий) цилиндр, либо (общий) конус, либо касательная поверхность (поверхность, состоящая из касательных пространственной кривой).

Моделирование торовой поверхности

Торовая поверхность образуется вращением окружности вокруг оси, которая расположена в плоскости окружности, но не проходит через ее центр (рис. 46).

Репером торовой поверхности будут ось вращения и образующая окружность

На рис. 47 изображены три модели торовой поверхности в зависимости от взаимного положения оси вращения и образующей окружности, а также модели точек, принадлежащих контурным линиям торовой поверхности. Если ось вращения не пересекает образующую окружность то образуется открытый тор (кольцо) (см. рис. 47, а). Если же ось вращения касается образующей окружности или пересекает ее, то образуется закрытая торовая поверхность (см. рис. 47, б, в).

На рис. 48, а показано построение произвольной точки M, принадлежащей торовой поверхности Построение выполняется по первому алгоритму задачи 5. На рис. 48, б показано построение точки M по второму алгоритму задачи 5.

Линейчатые поверхности вращения

При вращении прямой линии, которая пересекает ось вращения в собственной или несобственной точке, образуются, соответственно, коническая или цилиндрическая поверхности. Если прямая линия скрещивается с осью вращения образуется поверхность, называемая однополостным гиперболоидом вращения.

Эта поверхность также может быть получена путем вращения гиперболы вокруг ее мнимой оси. На рис. 49, а показано построение произвольной точки M, принадлежащей поверхности однополостного гиперболоида вращения а на рис. 49, б — построение фронтального очерка заданной поверхности. Через точку 1, принадлежащую образующей прямой проводится параллель поверхности вращения, после чего определяется точка 2, принадлежащая главному меридиану. Аналогично строятся все остальные точки гиперболы.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Инженерная графика
Начертательная геометрия
Компас
Автокад
Черчение
Проекционное черчение
Аксонометрическое черчение
Строительное черчение
Техническое черчение
Геометрическое черчение

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Пересечение прямой с плоскостью
Пересечение прямой с поверхностью
Пересечение поверхностей
Способы преобразования чертежа
Изображения и обозначения на чертежах
Отображение пространственных объектов на плоскость
Моделирование линии на эпюре Монжа
Моделирование плоскости на эпюре Монжа

Развертывающиеся поверхности

Эти объекты важны для листопрокатного производства, текстильной промышленности, авиа- и автомобилестроения. Представление о них основывается на допущении, что они обладают гибкостью, но они нерастяжимы и несжимаемы. Под развертывающимися понимают области, которые, изгибая, можно совмещать с плоскостью без порывов, перегибов и складок. Таким образом получается развертка. Это свойство характерно для многогранных объектов и объектов, которые имеют ребра возврата.

Ребро возврата – это направляющая кривая в пространстве, которую касается прямая при передвижении. В системе отсчета развертывающаяся линейчатая поверхность определяется ребром возврата. Указанными характеристиками обладают: торс, а также его частные случаи: объекты, имеющие форму конуса, цилиндра, призмы, пирамиды.

Торс

Торсы используются при проектировании деталей и узлов в машиностроении. Образование линейчатых поверхностей, имеющих вид торса, происходит при передвижении образующей, которая во всех позициях проходит по касательной относительно ребра возврата. Оно, совместно с движущейся прямой, определяет торс в пространстве. Этот геометрический объект составляют две полости, граничащие по ребру возврата.

Цилиндрическая

Это особый вид торса. При этом ребро возврата переродилось в несобственную точку, удаленную на бесконечное расстояние. Построенная прямая образующая движется параллельно самой себе по установленной кривой. Чтобы определить цилиндрическую поверхность надо задаться: вектором перемещения и криволинейной траекторией движения.

Коническая

В ней ребро возврата преобразовалось в собственную точку, через которую, по определенной кривой, проходит образующая. Эта точка служит вершиной конуса. Такой объект может складываться из двух полостей. Для его определения задаются указанными точкой и кривой.

Призматическая и пирамидальная

Призматическая отличается от цилиндрической тем, что движение прямой происходит не по кривой траектории, а по ломанной. Ребро возврата преобразовалось в несобственную точку, которая находится на бесконечном расстоянии.

Пирамидальная и конусная различаются формой траектории движения прямой. У конусной — траектория движения криволинейная, у пирамидальной – ломанная.

У перечисленных видов две смежные прямые могут:

пересекаться (торс, коническая, пирамидальная);
быть параллельными (цилиндрическая, призматическая).

Чтобы получить уравнение поверхности развертывающейся надо решить систему двух уравнений:

уравнения образующей.
уравнения направляющей.

Рассмотренные объекты могут быть замкнутыми, если траектория имеет форму окружности или замкнутого многоугольника.

7.10. Пересечение цилиндра плоскостью

Пусть плоскость сечения γ – фронтально-проецирующая (Рисунок 7.15).

Если плоскость сечения γ параллельна оси цилиндра, то она пересекает цилиндр по четырехугольнику.
Если плоскость сечения γ перпендикулярна оси цилиндра, то она пересекает цилиндр по окружности.
Если плоскость сечения γ не параллельна и не перпендикулярна оси цилиндра в сечении эллипс.

Рассмотрим алгоритм построения сечения – эллипс (Рисунок 7.15):

Рисунок 7.15 – пересечение цилиндра плоскостью

Находим и строим характерные точки (точки, не требующие дополнительных построений) – в нашем случае, точки принадлежащие крайним образующим – 1, 3, 5, 7. Одновременно с этим, данные точки определяют величину большой и малой оси эллипса.
Для построения участка эллипса необходимо построить не менее 5-ти точек (так как лекальная кривая второго порядка определяется как минимум пятью точками). Для построения точек 2, 4, 6, 8 возьмем на π₁ произвольно расположенные образующие цилиндра, которые проецируются на данную плоскость проекции в точки.
Построим вторые проекции данных образующих. Из точек пересечения вторых проекций образующих с проекцией плоскости сечения γ проводим линии связи к π₃. Для построения третьей проекции, например, точки 6 измеряем расстояние Δ₁ и откладываем его по соответствующей линии связи на π₃. Симметрично ей, относительно оси вращения, строим точку 4. Аналогично строятся другие точки.

Линейчатые и нелинейчатые поверхности.

Линейчатые поверхности — поверхности, которые образуются с помощью прямой линии. Нелинейчатые поверхности — поверхности, которые образуются с помощью кривой линии. Развертывающиеся поверхности — поверхности, которые после разреза их по образующей могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок. Неразвертывающиеся поверхности — поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок. Поверхности с постоянной образующей — поверхности, образующая которых не изменяет своей формы в процессе образования поверхности. Поверхности с переменной образующей — поверхности, образующая которых изменяется в процессе образования поверхности.

Линейчатые развертываемые поверхности:

1. Конические поверхности задаются движением прямой линии l, проходящей через неподвижную точку М, по некоторой направляющей кривой линии а. (рис 128)

2. Цилиндрические поверхности задаются движением прямой, параллельной некоторому направлению, по заданной направляющей кривой. (рис 129)

Поверхность с ребром возвратаа

Линейчатые неразвертываемые поверхности:

1) Цилиндроидобразован движением прямой, параллельной заданной плоскости параллелизма α, по двум пространственным кривым a и b.

2) Коноид образован движением прямой по одной прямолинейной направляющей n, по другой криволинейной направляющей m, оставаясь параллельной некоторой плоскости параллелизма α || π₁.

3) Гиперболический параболоид, или косая плоскость, задается двумя скрещивающимися прямыми направляющими АВ, CD и плоскостью параллелизма α(απ₁).

4) Однополостный гиперболоид образуется движением прямолинейной образующей l по трем прямолинейным скрещивающимся направляющим а, b, c.

5) Косой цилиндр с тремя направляющими образуется движением прямолинейной образующей по трем направляющим, одна из которых обязательно кривая.

Нелинейчатые неразвертываемые поверхности:

1) Эллипсоид трехосный образован движением переменного эллипса вдоль одной из трех его осей Х, Y, Z . Образующие эллипсы подобны.

2) Эллиптический параболоид образуется движением деформирующегося эллипса по двум направляющим параболам m и n

3) Двуполостный гиперболоид образуется движением изменяющегося эллипса по направляющей гиперболе вдоль действительной оси.

18. Точки и линии на поверхности.

Точка принадлежит поверхности, если она расположена на линии, принадлежащей поверхности. На поверхностях вращения в качестве таких линий удобно использовать параллели. Если на поверхности вращения (рис. 8.9) дана проекция М₂, то для нахождения параллели, которой принадлежит точка М, проводим через М фронтально-проецирующую плоскость s (М₂ ϵ s), такую что s ⊥ m. Тогда линия пересечения кривой поверхности с плоскостью s и даст искомую параллель. Радиус параллели равен расстоянию от оси вращения m₁ до точки поверхности 1₁. Этим радиусом проводим окружность с центром в точке m₁ (горизонтальной проекции оси вращения) и получаем горизонтальную проекцию параллели. На ней находим горизонтальные проекции точки М: М₁ — на видимой стороне кривой поверхности, а М’₁ — на невидимой.

Линия принадлежит поверхности, если все ее точки принадлежат этой поверхности. Исключение составляет случай, когда линия представлена прямой, а поверхность — плоскостью. В этом случае для принадлежности прямой плоскости достаточно, чтобы хотя бы две точки ее принадлежали этой поверхности.

Если линия не принадлежит поверхности, то они пересекаются. Простейшим случаем является пересечение с поверхностью прямой линии. Задача решается путем заключения данной линии в какую-либо проецирующую плоскость и построением натуральной величины сечения, из которого легко определить точку входа и выхода прямой.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10654 —

Презентация на тему: ” Линейчатые поверхности Образование поверхностей. Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная перемещением прямолинейной образующей по.” — Транскрипт:

Линейчатые поверхности Образование поверхностей

Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная перемещением прямолинейной образующей по одной или более направляющим

Цилиндрическая поверхность m (m; S ) S // Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой (образующей) по некоторой кривой m параллельно самой себе или имеющей постоянное направление S

i m ( i, m; i ) Коническая поверхность Коническая поверхность – образуется движением прямой линии (о бразующей) по некоторой кривой линии m и имеющей неподвижную точку S S

Торсовая поверхность m m – ребро возврата ( m) Торсовая поверхность образуется движением прямой, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной направляющей кривой m, называемой ребром возврата

Однополостный гиперболоид

Многогранные поверхности – это поверхности, образованные частями (отсеками) пересекающихся плоскостей Многогранником называется тело, ограниченное многогранной поверхностью, состоящей из плоских многоугольников Отсеки плоскостей называются гранями, а линии их пересечения – ребрами Точки пересечения ребер называются вершинами

S m S m Пирамидальная поверхность S m Пирамида m – замкнутый контур Если направляющая m ломаная, а все образующие пересекаются в одной точке, такая поверхность называется пирамидальной Поверхность с замкнутой ломаной направляющей (m), общей точкой пересечения образующих ребер и граней называется пирамидой

Принадлежность точки поверхности

S А1А1 С1С1 В1В1 S2S2 X 1,2 S1S1 А2А2 С2С2 В2В2 Задача Построить недостающую проекцию точки N N2N2 N1N1

m S Призматическая поверхность m S Призма Если все образующие поверхности параллельны – поверхность называется призматической Поверхность с замкнутой ломаной направляющей (m) (основанием) и взаимно параллельными ребрами – призма

Проецирующая призма А В С С1С1 В1В1 А1А1 k2k2 k1k1 f1f1 g1g1 g2g2 f2f2 X 1,2 Если ребра призмы перпендикулярны основанию, гранник называется проецирующей призмой

Поверхности Каталана

0 m1m1 n1n1 1 1 n m n1n1 m1m1 2 m2m2 n2n2 Линейчатые поверхности с двумя направляющими (поверхности Каталана) П 2 (m,n,; П 2 ); Цилиндроид

Поверхность с плоскостью параллелизма и двумя скрещивающимися направляющими называется гиперболическим параболоидом, или косой плоскостью Гипар

m2m2 n2n2 n1n1 m1m1 Задача Построить каркас и очерк гипара, заданного определителем (m, n, П 2 ) I21I2 2I22I2 3I23I2 4I24I2 5I25I2 6I26I2 7I27I2 8I28I I21I2 2I22I2 3I23I2 4I24I2 5I25I2 6I26I2 7I27I2 8I28I2 // парабола ll 1 n m ; 1 1 ll П 2 Определить видимость очерковых линий

Винтовой поверхностью называют поверхность, образованную винтовым движением образующей Винтовым движением называют движение, при котором каждая точка А образующей вращается вокруг неподвижной оси i и одновременно перемещается поступательно вдоль этой оси Винтовая поверхность